LEIDY PAOLA GARCIA HENAO
El movimiento armónico simple es un movimiento periódico, oscilatorio y vibratorio. Para deducir y establecer las ecuaciones que rigen el movimiento armónico simple (unidimensional) es necesario analizar el movimiento de la proyección, sobre un diámetro de una partícula que se mueve con movimiento circular uniforme (bidimensional). El movimiento armónico simple se puede estudiar desde diferentes puntos de vista: cinemático, dinámico y energético. Entender el movimiento armónico simple es el primer paso para comprender el resto de los tipos de vibraciones complejas. El más sencillo de los movimientos periodicos es el que realizan los cuerpos elasticos.

external image t5dib1.jpg


Un movimiento vibratorio es Armónico cuando la posición, velocidad y aceleración se puede describir mediante funciones senos y cosenos. En general el movimiento armónico puede ser compuesto de forma que estén presentes varios períodos simultáneamente. Cuando haya un solo período , el movimiento recibe el nombre de Movimiento Armónico Simple o abreviadamente, M.A.S . Además de ser el más sencillo de analizar, constituye una descripción bastante precisa de muchas oscilaciones que se observan en la naturaleza.

external image T5Dib3.jpg





MARÍA ALEJANDRA CIRO PINRDA 11-4

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
Movimiento Armónico Simple

Oscilaciones

Movimiento Armónico
Simple. M.A.S.
Movimiento Armónico
Simple
M.A.S y movimiento
Circular uniforme
Composición de dos
M.A.S. de la misma
Dirección y frecuencia
Composición de dos
M.A.S. de la misma
Dirección y distinta
Frecuencia
Composición de dos
M.A.S. de direcciones
Perpendiculares
Medida del desfase
y la frecuencia
Cinemática de un M.A.S.

Dinámica de un M.A.S.

Curva de energía potencial

Actividades


El estudio del oscilador armónico constituye en Física un capítulo muy importante, ya que son muchos los sistemas físicos oscilantes que se dan en la naturaleza y que han sido producidos por el hombre.



Definición

Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempo t por la ecuación

x=A·sen(ωt+φ)



donde

A es la amplitud.
w la frecuencia angular.
w t+j la fase.
j la fase inicial.
Las características de un M.A.S. son:

Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre -A y +A.
La función seno es periódica y se repite cada 2p, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2p, es decir, cuando transcurre un tiempo P tal que w(t+P)+j=w t+j+2p .
P=2π/ω



Cinemática de un M.A.S.

En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos la velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la expresión de la velocidad.

La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por la ecuación

x=A·sen(ωt+φ)

Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil



Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del móvil



Este resultado se suele expresar en forma de ecuación diferencial



Esta es la ecuación diferencial de un MAS donde x puede ser cualquier magnitud: un desplazamiento lineal, un desplazamiento angular, la carga de un condensador, una temperatura, etc.

Puede comprobarse que la solución de esta ecuación diferencial es

x=A sen(w t+j )

Condiciones iniciales

Conociendo la posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 en el instante t=0.

x0=A·senj
v0=Aw·cosj

se determinan la amplitud A y la fase inicial φ





Dinámica de un M.A.S.

Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresión de la fuerza necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste.



Como la fuerza F es conservativa. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y el final de la energía potencial Ep.



La expresión de la energía potencial es



Donde c es cualquier constante. Se toma como nivel cero de la energía potencial Ep=0 cuando el móvil está en el origen, x=0, por lo que c=0

La energía total E, es la suma de la energía cinética Ek y de la energía potencial Ep que es constante.





Curva de energía potencial

La función Ep=mω2x2/2 representa una parábola cuyo vértice está en el origen, que tiene un mínimo en x=0 cuyo valor es Ep=0.

Las región donde se puede mover la partícula está determinada por la condición de que la energía cinética ha de ser mayor o igual a cero Ek>=0. En otras palabras, que la energía total sea mayor o igual que la energía potencial E>=Ep. Si la partícula tiene una energía total E, la partícula solamente se podrá mover en la región comprendida entre -A y +A, siendo A la amplitud de su M.A.S.



El módulo y el sentido de la fuerza vienen dados por la pendiente de la recta tangente cambiada de signo. Por tanto, la fuerza que actúa sobre la partícula es negativa a la derecha del origen y positiva a la izquierda.



En el origen la pendiente es nula, la fuerza es nula, una situación de equilibrio, que por coincidir con un mínimo de la energía potencial es de carácter estable.



Actividades

Se introduce

El valor de mω2, actuando en la barra de desplazamiento titulada Constante

La energía total de la partícula E, actuando en la barra de desplazamiento titulada Energía.

Se pulsa en el botón titulado Empieza

Observar los valores de la energía cinética, potencial y la fuerza sobre la partícula, en particular, cuando la partícula pasa por el origen y por las posiciones de máximo desplazamiento.

external image images?q=tbn:ANd9GcS2Tar_MQgYelkNuN78oWgy9u90Sz8x_KTfENMOv1_NC5yoYNAdfg


MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE


Definición: es un movimiento vibratorio bajo la
acción
de una fuerza recuperadora elástica, proporcional al desplazamiento y en ausencia de todo rozamiento.
Solemos decir que el sonido de una determinada nota
musical
se
representa
gráficamente por la función seno. Ésta representa un movimiento vibratorio llamado movimiento armónico simple, que es aquel que se obtiene cuando los desplazamientos del cuerpo vibrante son directamente proporcionales a las fuerzas causantes de este desplazamiento.
Un ejemplo de este movimiento se puede encontrar a partir del desplazamiento de un punto cualquiera alrededor de toda la longitud de una circunferencia.
Cuando un punto (P) recorre una circunferencia con velocidad uniforme, su proyección (Q) sobre cualquiera de los diámetros de esta, realiza un tipo de movimiento armónico simple. Cada vez que el punto se encuentre en uno de los cuatro cuadrantes de la circunferencia, se trazará una perpendicular desde el punto a un diámetro fijo de la circunferencia. A medida que el punto escogido se mueve a velocidad uniforme, el punto proyectado en el diámetro, realizará un movimiento oscilatorio rectilíneo.
Para representar gráficamente (en una función) el movimiento armónico simple de un punto, se toman como abscisas los tiempos medidos como fracciones del período (T/12, T/6, T/4...) que es
el tiempo
que este punto tarda en dar una vuelta completa a la circunferencia; y como a ordenadas las sucesivas prolongaciones del mismo. La resultante es una sinusoide, ya que la variación del tiempo
t
, se traduce como una variación del sin x, donde x es el ángulo que forma el radio con el semi-eje positivo de abscisas (x es proporcional al tiempo).
external image mov1.jpg

Elementos:
1. Oscilación o vibración: es el movimiento realizado desde cualquier posición hasta regresar de nuevo a ella pasando por las posiciones intermedias.
2. Elongación: es el desplazamiento de la partícula que oscila desde la posición de equilibrio hasta cualquier posición en un instante dado.
3. Amplitud: es la máxima elongación, es decir, el desplazamiento máximo a partir de la posición de equilibrio.
4. Periodo: es el tiempo requerido para realizar una oscilación o vibración completa. Se designa con la letra "t".
5. Frecuencia: es el número de oscilación o vibración realizadas en la unidad de tiempo.
6. Posición de equilibrio: es la posición en la cual no actúa ninguna fuerza neta sobre la partícula oscilante.
Relación entre el M.A.S. y el Movimiento Circular Uniforme
El M.A.S. de un cuerpo real se puede considerar como el movimiento de la "proyección" (sombra que proyecta) de un cuerpo auxiliar que describiese un movimiento circular uniforme (­M.C.U.) de radio igual a la amplitud A y velocidad angular ω, sobre el diαmetro vertical de la circunferencia que recorre.
En lo siguiente podrás visualizar dicha relación.
Vamos a establecer una relación entre un movimiento vobratorio armónico simple y el movimiento circular uniforme. Esto nos va a permitir dos cosas:
- Hallar la ecuación del MAS sin tener que recurrir a cálculos matemáticos complejos.
- Conocer de donde vienen algunos de los conceptos que usamos en el MAS, como frecuencia angular o el desfase.
Observando el applet que viene a continuación. Tememos inicialmente el resorte azul, que oscila verticalmente. En la circunferencia tienes un punto negro que gira con movimiento circular uniforme, ocupando en cada instante una posición en la circunferencia. Traza mentalmente la proyección de esa posición sobre el diámetro vertical de la circunferencia. En cada momento, la masa que cuelga del resorte ocupa una posición determinada. Observa que la posición de la masa del resorte coincide exactamente con la proyección de la posición del objeto sobre el diámetro, que verás en forma de línea azul en el diámetro vertical.
Es decir, como
resumen
, cuando un objeto gira con movimiento circular uniforme en una trayectoria circular, el movimiento de la proyección del objeto sobre el diámetro es un movimiento armónico simple.
external image Image37.gif

Lo mismo podríamos decir del resorte amarillo y la proyección sobre el diámetro horizontal, que verás como un trazo amarillo sobre dicho diámetro.
Los vectores azul y amarillo, que varían en el applet, corresponden al valor de la velocidad del resorte, azul para diámetro vertical y amarillo para el horizontal. Observa su variación y comprobarás que la velocidad es máxima en el centro de equilibrio del resorte y mínima en los extremos, en los puntos de mínima y máxima elongación. Observa también como el vector rojo de la gráfica de la derecha, la velocidad del MAS, coincide con el vector azul, la velocidad de la proyección sobre el diámetro vertical, lo que supone una
prueba
más de lo que hemos afirmado anteriormente.

HECHO POR : MARIA CAMILA GIRALDO MONTOYA




Dinámica del movimiento armónico simple

En el movimiento armónico simple la fuerza que actúa sobre el móvil es directamente proporcional al desplazamiento respecto a su posición de equilibrio, donde la fuerza es nula. Esta fuerza va siempre dirigida hacia la posición de equilibrio y el móvil realiza un movimiento de vaivén alrededor de esa posición.

  • (11)
    F=-k, x
    F=-k, x
Un ejemplo de MAS sería el que realiza un objeto unido al extremo un muelle, en ese caso k sería la constante de elasticidad del muelle.
Aplicando la segunda ley de newton tendríamos:

  • (12)
     F=-k, x=m, aqquadRightarrowqquad a=-frac{k}{m}x
    F=-k, x=m, aqquadRightarrowqquad a=-frac{k}{m}x
Comparando esta ecuación y la que teníamos para la aceleración (6) se deduce:

  • (13)
    omega^{2}=frac{k}{m}
    omega^{2}=frac{k}{m}
Esta ecuación nos permite expresar el periodo (T) del movimiento armónico simple en función de la masa de la partícula y de la constante elástica de la fuerza que actúa sobre ella:

  • (14)
    > T = 2 pi sqrt{frac{m}{k}}>
    > T = 2 pi sqrt{frac{m}{k}}>











































Ecuación del movimiento
Si aplicamos la ley de Newton
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


, junto con la ley de Hooke, obtendremos que
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


Esta sencilla ecuación es, no obstante, algo más complicada de resolver que otras anteriores, puesto que las magnitudes involucradas, a y x dependen La una de la otra, concretamente como
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


que constituye una ecuación diferencial, ya que involucra derivadas de funciones con la propias funciones. Resolver esta ecuación está bastante más allá del ámbito de este curso, pero aún así es fácil darse cuenta de que las funciones sen y cos van a tener algo que ver, dado que son las únicas que al ser derivadas dos veces y sumadas consigo mismas dan nulo. Manipulando algunos coeficientes en estas funciones y operando se encuentra la solución más general a este movimiento, que es *
y que por tanto constituye la ecuación de movimiento de un sistema que cumpla la ley de Hooke, o bien de un movimiento armónico simple.
Significado de la ecuación
En esta ecuación A es la amplitud máxima que puede recorrer el móvil, w es la frecuencia angular de la oscilación, es decir, el número de ``radianes'' que da en un segundo. Como parece que la palabra radián no tiene sentido para un muelle, por ejemplo, quizás sea preferible pensar en la frecuencia del movimiento
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


es decir, el número de oscilaciones completas que da en un segundo, o bien tomar
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


el periodo de la oscilación, que será el tiempo que tarda nuestro sistema en dar una oscilación completa.
Por último, ¿qué será ? Notemos que, si tomamos t=0 tendremos que en el instante 0, el cuerpo que realiza un movimiento estaba en la posición x=sen(), por lo que , parámetro al que se conoce con el nombre de fase, nos indica cuando empieza el movimiento.
Periodicidad de la ecuación
Fijándose en la ecuación * se puede observar que, la existencia de una función seno para describir este movimiento, nos va a llevar irremediablemente hacia un movimiento de tipo periódico. Efectivamente, si tuviéramos un resorte perfecto, este estaría oscilando ``eternamente'' describiendo el mismo movimiento en cada oscilación.
Para adivinar cada cuanto se repite el movimiento bastará igualar el argumento del seno a 2, pues como se sabe sen(2)=sen(). De esta manera tendremos que el movimiento se repetirá, esto es, hará un periodo, cuando wt=2, lo cual supone que el periodo T será, como ya habíamos dicho,
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


.
Es también frecuente describir el movimiento armónico simple como la analogía de una proyección sobre el eje OY o OX bien de un movimiento circular de velocidad angular constante w.

Velocidad
Para hallar la velocidad que un móvil sometido a una fuerza armónica presenta en un instante t basta derivar su ecuación del movimiento. Así tendremos que, como
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


relación que nos ofrece la velocidad de un movimiento armónico para cualquier instante. Es también común relacionar la velocidad con la posición, cosa sencilla notando que
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


y que, por tanto
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


de donde, introduciendo la amplitud A en la raíz cuadrada
y ahora, echando un vistazo a la relación * se ve que
siendo esta la relación entre v y x buscada.

Aceleración
La aceleración a la que se encuentra sometido un móvil que describe un movimiento armónico simple se puede obtener teniendo presente * y que
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


. Por tanto
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


Si queremos obtener una relación de la aceleración con respecto a la posición del móvil podemos recurrir a observar la similitud entre la ecuación anterior y la que describe la ecuación de movimiento de un m.a.s., o bien utilizando las leyes de Newton y Hooke
Energía

Energía cinética
Partiendo de la relación de la energía cinética de un móvil, y de la ecuación de velocidad del m.a.s. se tiene que
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


o, relacionándolo con la posición
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple



Energía potencial
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


¿Es conservativo el movimiento armónico simple? ¿Podemos definir un potencial para él?. La respuesta es sí, por tratarse de una fuerza central.En este caso ¿cuál será el potencial?. Para hallarlo recordamos que
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


y que, por tanto, tendremos que
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


siendo ahora ya muy sencillo identificar la energía potencial en una posición x como
Energía mecánica
Para obtener la energía mecánica o total puesta en juego en un movimiento armónico simple sumaremos las energías potencial y cinética respecto a la posición. Así tendremos que
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


En el movimiento armónico simple se ve, de una forma que casi roza en lo magistral, lo que la conservación de la energía supone en física. En este caso toda la energía está dada por la fórmula
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


que es la energía potencial máxima que alcanza el muelle por separarle una distancia A de su posición de equilibrio. Más tarde, cuando empieza el movimiento, éste va adquiriendo energía cinética, siempre a costa de su energía potencial, y por tanto acercándose a la posición de equilibrio. Cuando el móvil se encuentra en la posición de equilibrio su energía potencial es nula, pero el cuerpo conserva una cantidad de energía cinética que se irá ahora utilizando en comprimir otra vez el muelle hasta su amplitud máxima, y que contribuirá, por tanto, a incrementar nuevamente la energía potencial. En cualquier caso la suma de ambas nos dará la energía máxima puesta en juego, que se conserva. En un muelle real la conservación de la energía no se cumple, ya que siempre existen pérdidas por rozamiento. Estas pérdidas dan lugar a lo que se denomina un movimiento armónico simple amortiguado, ya que la amplitud va disminuyendo poco a poco, informándonos a su vez de la cantidad de energía que se está perdiendo.
Una forma de solucionar este fenómeno es aportando algo de energía extra al móvil, para contrarrestar la que pierde por rozamiento. Esto puede dar lugar a resonancias y otros fenómenos físicos muy interesantes.

El péndulo simple
Hay ciertos sistemas que, si bien no son estrictamente sistemas sometidos a una fuerza tipo Hooke, si pueden, bajo ciertas condiciones, considerarse como tales. El péndulo simple, es decir, el movimiento de un grave atado a una cuerda y sometido a un campo gravitatorio constante, es uno de ellos.
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


Al colocar un peso de un hilo colgado e inextensible y desplazar ligeramente el hilo se produce una oscilación periódica. Para estudiar esta oscilación es necesario proyectar las fuerzas que se ejercen sobre el peso en todo momento, y ver que componentes nos interesan y cuales no. Esto se puede observar en la figura .
Figura: Descomposición de las fuerzas en un péndulo.
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


Vemos pues que, considerando únicamente el desplazamiento tangente a la trayectoria, es decir, el arco que se está recorriendo, podemos poner
donde no hemos hecho sino aplicar la segunda ley de Newton. Esto se puede ver considerando que el arco es
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


y, como
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


es la longitud del hilo y es constante, la aceleración será
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


.Por otra parte, aplicando
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


en este caso la fuerza es sólo la de la gravedad, mg que se descompone en una componente, que se contrarresta con la tensión, más otra, que es la que hace que exista movimiento en la trayectoria marcada por el arco.
Esta ecuación diferencial no es nada fácil de resolvery por ello recurrimos a la aproximación siguiente: suponiendo que el ángulo que desplazamos es pequeño, tomamos que
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


y así tenemos que
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


que a veces también se expresa como
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


Esta ecuación es absolutamente análoga a la de un movimiento armónico simple, y por tanto su solución también será * teniendo, únicamente, la precaución de sustituir el valor de w antiguo por el que tiene ahora para un péndulo
A partir de aquí se pueden extraer todas las demás relaciones para un péndulo simple, el periodo, frecuencia, etc.

Richard Bedoya Villegas
























EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Definición: es un movimiento vibratorio bajo la acción de una fuerza recuperadora elástica, proporcional al desplazamiento y en ausencia de todo rozamiento.
Solemos decir que el sonido de una determinada nota musical se representa gráficamente por la función seno. Ésta representa un movimiento vibratorio llamado movimiento armónico simple, que es aquel que se obtiene cuando los desplazamientos del cuerpo vibrante son directamente proporcionales a las fuerzas causantes de este desplazamiento.
Un ejemplo de este movimiento se puede encontrar a partir del desplazamiento de un punto cualquiera alrededor de toda la longitud de una circunferencia.
Cuando un punto (P) recorre una circunferencia con velocidad uniforme, su proyección (Q) sobre cualquiera de los diámetros de esta, realiza un tipo de movimiento armónico simple. Cada vez que el punto se encuentre en uno de los cuatro cuadrantes de la circunferencia, se trazará una perpendicular desde el punto a un diámetro fijo de la circunferencia. A medida que el punto escogido se mueve a velocidad uniforme, el punto proyectado en el diámetro, realizará un movimiento oscilatorio rectilíneo.
Para representar gráficamente (en una función) el movimiento armónico simple de un punto, se toman como abscisas los tiempos medidos como fracciones del período (T/12, T/6, T/4...) que es el tiempo que este punto tarda en dar una vuelta completa a la circunferencia; y como a ordenadas las sucesivas prolongaciones del mismo. La resultante es una sinusoide, ya que la variación del tiempo t, se traduce como una variación del sin x, donde x es el ángulo que forma el radio con el semi-eje positivo de abscisas (x es proporcional al tiempo).

external image mov1.jpgexternal image Maquet%7E1.JPG

El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila de un lado al otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo.
Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo.El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.
Es también, el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibración; pero, pongamos atención, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultáneo de todos los puntos de la cuerda.

YOHANA ANDREA VELEZ CASTAÑO

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S)

El movimiento armónico simple (se abrevia m.a.s.), también denominado movimiento vibratorio armónico simple (abreviado m.v.a.s.), es un movimiento periódico que queda descrito en función del tiempo por una función armónica (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un m.a.s..

En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un m.a.s. oscila alejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que su posición en función del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia éste.

external image reloj-homer-simpson.gif

Elongación

En un movimiento armónico simple la magnitud de la fuerza ejercida sobre la partícula es directamente proporcional a su elongación, esto es la distancia
x,
x,
a la que se encuentra ésta respecto a su posición de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje Ox, tomando el origen O en la posición de equilibrio, esta fuerza es tal que
F_{x} = - kx,
F_{x} = - kx,
donde
k,
k,
es una constante positiva y
x,
x,
es la elongación. El signo negativo indica que en todo momento la fuerza que actúa sobre la partícula está dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es, en dirección contraria a su elongación (la "atrae" hacia la posición de equilibrio).

Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial

  • (1)
  •  m frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -k x
    m frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -k x

Siendo
m,
m,
la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo
scriptstyle omega^{2} = k/m
scriptstyle omega^{2} = k/m
se obtiene la siguiente ecuación donde ω es la frecuencia angular del movimiento:

  • (2)
  •  frac{d^2x}{dt^2} = a(t) = -omega^2x
    frac{d^2x}{dt^2} = a(t) = -omega^2x

La solución de la ecuación diferencial (2) puede escribirse en la forma

  • (3)
  •  x(t) = A cos(omega t + phi),
    x(t) = A cos(omega t + phi),

donde:

x,
x,
es la elongación de la partícula.
A,
A,
es la amplitud del movimiento (elongación máxima).
omega,
omega,
es la frecuencia angular
t,
t,
es el tiempo.
phi,
phi,
es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila.

Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como esto:

  • (4)
  • f = frac{omega}{2 pi} = frac{1}{2 pi} sqrt{frac{k}{m}}
    f = frac{omega}{2 pi} = frac{1}{2 pi} sqrt{frac{k}{m}}
    , y por lo tanto el periodo como
    T = frac{1}{f} = frac{2 pi}{omega} = 2 pi sqrt{frac{m}{k}}
    T = frac{1}{f} = frac{2 pi}{omega} = 2 pi sqrt{frac{m}{k}}

La velocidad y aceleración de la partícula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo la expresión
 x(t) = A sin(omega t + phi),
x(t) = A sin(omega t + phi),
.

Velocidad

La velocidad instantánea de un punto material que ejecuta un movmiento armónico simple se obtiene por lo tanto derivando la posición respecto al tiempo respecto al tiempo:

  • (5)
  •  v = frac{dx}{dt} = omega A sin(omega t + phi)
    v = frac{dx}{dt} = omega A sin(omega t + phi)

Aceleración

La aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo:

  • (6)
  •  a(t) = frac{dv(t)}{dt} = -omega^2 A , cos(omega t + phi) = -omega^2 x(t),
    a(t) = frac{dv(t)}{dt} = -omega^2 A , cos(omega t + phi) = -omega^2 x(t),

Amplitud y fase inicial

La amplitud A y la fase inicial
phi,
phi,
se pueden calcular a partir de las condiciones iniciales del movimento, esto es de los valores de la elongación x0 y de la velocidad v0 iniciales.

  • (7)
  •  x_{0} = A cosphi qquadRightarrowqquad x_{0}^2 = A^{2} cos^{2} phi
    x_{0} = A cosphi qquadRightarrowqquad x_{0}^2 = A^{2} cos^{2} phi

  • (8)
  •  v_{0} = omega A sinphi qquadRightarrowqquad v_{0}^{2} = omega^{2} A^{2} sin^{2}phi qquadRightarrowqquad frac{v_{0}^{2}}{omega^{2}} = A^{2}sin^{2} phi
    v_{0} = omega A sinphi qquadRightarrowqquad v_{0}^{2} = omega^{2} A^{2} sin^{2}phi qquadRightarrowqquad frac{v_{0}^{2}}{omega^{2}} = A^{2}sin^{2} phi

Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos

  • (9)
  •  x_{0}^{2} + frac{v_{0}^{2}}{omega^{2}} = A^{2} (cos^{2} phi + sin^{2} phi) = A^{2} qquadRightarrowqquad A = sqrt{x_{0}^{2} + frac{v_{0}^{2}}{omega^{2}}}
    x_{0}^{2} + frac{v_{0}^{2}}{omega^{2}} = A^{2} (cos^{2} phi + sin^{2} phi) = A^{2} qquadRightarrowqquad A = sqrt{x_{0}^{2} + frac{v_{0}^{2}}{omega^{2}}}

Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos

  • (10)
  •  frac{v_0}{x_0}= frac{-omega Asinphi}{Acosphi}=-omegatanphi qquad Rightarrow qquadphi =arctanleft(-frac{v_0}{omega x_0}right)
    frac{v_0}{x_0}= frac{-omega Asinphi}{Acosphi}=-omegatanphi qquad Rightarrow qquadphi =arctanleft(-frac{v_0}{omega x_0}right)



  • HECHO POR :JHOANA CASTAÑO FLOREZ 11.4


MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE.


Si un cuerpo es apartado de su posición de equilibrio estable, comienzan a actuar sobre él fuerzas restauradoras que tienden a devolverlo a su estado original de equilibrio.Si dicha fuerza recuperadora obedece la Ley de Hooke: external image image003.gif (es decir: dicha fuerza es proporcional a la posición de la partícula y tiende a llevarla hacia una posición de equilibrio considerada como x=0), entonces la posición de la partícula es una función sinusoidal del tiempo: decimos que dicha partícula está animada de un movimiento armónico simple. Y esta posición se puede escribir:
external image image005.gif
(I)
x(t)= elongación: posición de la partícula respecto de la posición de equilibrio (x=0).A: amplitud: máxima elongación: máxima distancia de la partícula a la posición de equilibrio.external image image007.gif : frecuencia angular: external image image009.gifexternal image image011.gif : faseexternal image image013.gif : fase inicialA partir de la expresión (I), derivando, podemos obtener las expresiones para la velocidad y aceleración de una partícula sometida a este movimiento:external image image015.gif external image image017.gif external image image019.gifexternal image image021.gifAdemás, es evidente comprobar que (I) es la solución para el movimiento de una partícula sometida a una fuerza recuperadora que obedece la Ley de Hooke:external image image023.gif y, como acabamos de ver external image image025.gif , por tanto: external image image027.gif , que se cumple siempre que se haya definido external image image029.gif .Relación entre el movimiento armónico simple y el movimiento circular uniforme.Supongamos un móvil efectuando un movimiento armónico sobre el eje OX con amplitud A, mientras otro describe un movimiento circular de radio A. Los dos parten simultáneamente de la misma posición indicada en la figura y ambos tienen el mismo periodo:
external image image031.jpg
Para el móvil que describe el movimiento armónico simple, obtendremos:external image image033.gifexternal image image035.gifexternal image image037.gifPara el móvil que describe el movimiento circular uniforme, si nos fijamos en un punto cualquiera de su trayectoria, vendrá definido por un vector posición r(t):external image image039.gif
external image image041.jpg
Y obtendremos:external image image043.gifexternal image image045.gifexternal image image047.gifVemos que las componentes X de estas magnitudes coinciden con las propias del movimiento armónico: el movimiento armónico simple puede considerarse como una proyección de un movimiento circular uniforme sobre un diámetro de la misma circunferencia.Energía del oscilador armónico simple.Las fuerzas restauradoras que obedecen la Ley de Hooke son conservativas, por lo tanto el trabajo que realizan dichas fuerzas: external image image049.gif .Por otro lado, el trabajo realizado por la fuerza restauradora al desplazar el cuerpo desde una posición x hasta la posición de equilibrio será:external image image051.gify tomando referencia de energía potencial 0 en la posición de equilibrio:
external image image053.gif
Por otro lado, la energía cinética de esa partícula es: external image image055.gif , que si tenemos en cuenta la expresión de la velocidad en función de la posición ( external image image057.gif , podremos escribir: external image image059.gifCon todo esto, la energía mecánica de un oscilador armónico la podemos obtener como suma de su energía cinética más su energía potencial: external image image061.gif
external image image063.jpg
El péndulo simple.Supongamos que de un hilo de longitud l suspendemos una bolita de masa m, lo colgamos del techo y lo hacemos oscilar ligeramente respecto a su posición de equilibrio:
external image image065.jpg
La fuerza recuperadora (que en cada punto empuja a la bolita hacia la posición de equilibrio) es la componente tangencial del peso:external image image067.gifexternal image image069.jpgSi el ángulo que forma el hilo con la vertical es muy pequeño: external image image071.gifEn este caso podremos escribir: external image image073.gif de donde:
*
*
external image image077.gif , y como external image image079.gif , y obtenemos: external image image081.gif







El estudio del oscilador armónico constituye en Física un capítulo muy importante, ya que son muchos los sistemas físicos oscilantes que se dan en la naturaleza y que han sido producidos por el hombre.


Definición

Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempo t por la ecuación

x=A·sen(ωt+φ)

external image oscila1_2.gif

donde

    • A es la amplitud.

    • w la frecuencia angular.

    • w t+j la fase.

    • j la fase inicial.

Las características de un M.A.S. son:

Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre -A y +A.


La función seno es periódica y se repite cada 2p, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2p, es decir, cuando transcurre un tiempo P tal que w(t+P)+j=w t+j+2p .


  • P=2π/ω


Cinemática de un M.A.S.
En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos la velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la expresión de la velocidad.
La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por la ecuación
x=A·sen(ωt+φ)
Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil
external image Image120.gif
Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del móvil
external image Image121.gif
Este resultado se suele expresar en forma de ecuación diferencial
external image Image890.gif
Esta es la ecuación diferencial de un MAS donde x puede ser cualquier magnitud: un desplazamiento lineal, un desplazamiento angular, la carga de un condensador, una temperatura, etc.
Puede comprobarse que la solución de esta ecuación diferencial es

x=A sen(w t+j )

Condiciones iniciales
Conociendo la posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 en el instante t=0.
x0=A·senj

v0=Aw·cosj
se determinan la amplitud A y la fase inicial φ
external image Image127.gif

Dinámica de un M.A.S.
Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresión de la fuerza necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste.
external image Image122.gif
Como la [[http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/energia/energia.htm#Fuerza conservativa. Energía potencial| fuerza F es conservativ]]a. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y el final de la energía potencial Ep.
external image Image123.gif
La expresión de la energía potencial es
external image Image125.gif
Donde c es cualquier constante. Se toma como nivel cero de la energía potencial Ep=0 cuando el móvil está en el origen, x=0, por lo que c=0
La energía total E, es la suma de la energía cinética Ek y de la energía potencial Ep que es constante.
external image Image124.gif



external image Pendulum3.gif external image Balls.gif

VÍDEOS



http://www.youtube.com/watch?v=Cw9eFeVY74I



http://www.youtube.com/watch?v=eeYRkW8V7Vg



http://www.youtube.com/watch?v=eNqlftUhkHs

HECHO POR: YURI ALEJANDRA BERMUDEZ RIOS


MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE ( M.A.S )


El Movimiento Circular esta presente en multitud de artilugios que giran a nuestro alrededor; los motores; las manecillas de los relojes y las ruedas son algunos ejemplos que lo demuestran. En la unidad se introducen las magnitudes características del Movimiento Circular Circular Uniforme y se repasan los conceptos de arco y angulo.


Esta unidad finaliza el estudio del Movimiento iniciado en tres unidades anteriores: Introducción a la cinemática y trayectoria y desplazamiento ( en preparación ), y movimientos rectilíneos.


Cinemática: Es la rama de la mecánica clásica que estudia las leyes del movimiento ( cambios de posicion ) de los cuerpos, sin tomar en cuenta las causas que los producen, limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en funcion del tiempo. La aceleracion es el ritmo con que cambia su rapidez ( modulo de la velocidad ). La rapidez y la aceleracion son las dos principales cantidades que describen como cambia su posición en función del tiempo.


Aunque el movimiento circular sea uniforme y su rapidez sea constante, su velocidad es variable y por lo tanto es acelerado.

Recuerda que la rapidez es una magnitud escalar que no cambia durante el M.C.U, mientras que la velocidad es un vector que sì cambia constantemente.


Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple ( M..A.S ) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempo t por la ecuación.



external image oscila1_2.gif


Donde

A es la amplitud.


    • w la frecuencia angular.


w t+Q la fase.


    • Q la fase inicial.


external image mcu15.png external image mcu+17.bmp

POR: LEIDY YURANY MUÑOZ ZAPATA .


MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

pendulo.jpg



gravedad_640.jpg

JONATHAN ANDRES TORRES MARIN

M.A.S
Hay muchas situaciones en física en las cuales la fuerza que siente una partícula en cierto sistema es proporcional a un desplazamiento respecto cierto punto “de equilibrio''. Es decir, existen sistemas para los cuales es válida la ley de Hooke.

o al menos, lo es manteniendo el móvil entre ciertos límites. Estos sistemas se dice de ellos que describen un movimiento armónico simple.

La intención de este apartado es estudiar este tipo de movimientos, dada su importancia y su sencillez.
En todo el estudio que se haga en este capítulo se tratará el problema de manera unidimensional.

Se puede demostrar que la gran mayoría de los sistemas que tiene un punto de equilibrio estable admiten un tratamiento armónico para pequeñas oscilaciones en torno a dicho punto. Esto se puede ver desarrollando en serie de Taylor alrededor del punto y dándose cuenta de que como la primera derivada será nula el primer término que aparecerá será, precisamente, el término de un potencial armónico:
Dinámica del sistema
Ecuación del movimiento
Si aplicamos la ley de Newton
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


, junto con la ley de Hooke, obtendremos que
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


Esta sencilla ecuación es, no obstante, algo más complicada de resolver que otras anteriores, puesto que las magnitudes involucradas, a y x dependen La una de la otra, concretamente como
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple


external image osc3.gif

JHON MARIO RAIGOSA CARVAJAL

EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Definición: es un movimiento vibratorio bajo la acción de una fuerza recuperadora elástica, proporcional al desplazamiento y en ausencia de todo rozamiento.
Solemos decir que el sonido de una determinada nota musical se
representa
gráficamente por la función seno. Ésta representa un movimiento vibratorio llamado movimiento armónico simple, que es aquel que se obtiene cuando los desplazamientos del cuerpo vibrante son directamente proporcionales a las fuerzas causantes de este desplazamiento.
Un ejemplo de este movimiento se puede encontrar a partir del desplazamiento de un punto cualquiera alrededor de toda la longitud de una circunferencia.
Cuando un punto (P) recorre una circunferencia con velocidad uniforme, su proyección (Q) sobre cualquiera de los diámetros de esta, realiza un tipo de movimiento armónico simple. Cada vez que el punto se encuentre en
uno
de los cuatro cuadrantes de la circunferencia, se trazará una perpendicular desde el punto a un diámetro fijo de la circunferencia. A medida que el punto escogido se mueve a velocidad uniforme, el punto proyectado en el diámetro, realizará un movimiento oscilatorio rectilíneo.
Para representar gráficamente (en una función) el movimiento armónico simple de un punto, se toman como abscisas los tiempos medidos como fracciones del período (T/12, T/6, T/4...) que es el tiempo que este punto tarda en dar una vuelta completa a la circunferencia; y como a ordenadas las sucesivas prolongaciones del mismo. La resultante es una sinusoide, ya que la variación del tiempo t, se traduce como una variación del sin x, donde x es el ángulo que forma el radio con el semi-eje
positivo
de abscisas (x es proporcional al tiempo).



Elementos:
1. Oscilación o vibración: es el movimiento realizado desde cualquier posición hasta regresar de nuevo a ella pasando por las posiciones intermedias.
2. Elongación: es el desplazamiento de la partícula que oscila desde la posición de equilibrio hasta cualquier posición en un instante dado.
3. Amplitud: es la máxima elongación, es decir, el desplazamiento máximo a partir de la posición de equilibrio.
4. Periodo: es el tiempo requerido para realizar una oscilación o vibración completa. Se designa con la
letra
"t".
5. Frecuencia: es el número de oscilación o vibración realizadas en la unidad de tiempo.
6. Posición de equilibrio: es la posición en la cual no actúa ninguna fuerza neta sobre la partícula oscilante.

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE.


El estudio del movimiento armónico simple es muy importante en la Física ya que son muchos los fenómenos físicos que se relacionan con el mismo, ya sea fenómenos estudiados al analizar el comportamiento de la Naturaleza como también por el sin número de fenómenos creados por el hombre y basados en dicho movimiento.
Esto movimiento muy común puede ser observado en el caso de una masa colgando de un resorte al oscilar.
Es la forma más elemental de una oscilación

Definición

Una partícula realiza un Movimiento Armónico Simple (MAS) cuando al desplazarse a la largo de un eje (X) su posición se encuentra descripta en función del tiempo por la expresión

Donde los valores A, w y j son constantes siendo

          • A la amplitud del movimiento
          • w la frecuencia angular
          • w . t + j la fase del movimiento
          • j es la fase inicial de movimiento
Se llama amplitud (A) al máximo desplazamiento de la partícula respecto al punto origen (0) del eje X o punto de equilibrio.
Como la función seno toma como valores extremos +1 y -1, el movimiento se encuentra acotado por los valores x = + A y x = - A
El movimiento que se repite a sí mismo se llama periódico, siendo precisamente el período (T) el tiempo que es necesario que transcurra para que se produzca su repetición.
La función seno es periódica y se repite cada 2p rad, por lo tanto el valor de la abscisa x se repite cuando el argumento de la función se incrementa en 2p rad.
Por lo tanto siendo t el valor del tiempo para un cierto valor de x, el mismo valor de x se repetirá para cuando el valor del tiempo sea t + T
Dado que sen (w . (t + T) + j) = sen (w . t + j + 2p) entonces
w .( t + T) + j = w . t + j + 2p
por lo tanto simplificando nos queda que w.T = 2p lo que permite calcular el valor del período en función de la frecuencia angular

Aquí se observa que el período T es inversamente proporcional a la frecuencia angular w

La fase inicial se encuentra relacionada con el momento que se toma como origen de tiempos y la posición en que se encuentra la partícula en dicho instante.
  • Observando la expresión x = A . sen (w.t + j) podemos estudiar que sucede cuando t = 0 y
  • obtenemos que x = A . sen j
  • Por ejemplo si la partícula comienza a oscilar desde x = A para t = 0 s tendremos que
  • La fase inicial en la descripción de un movimiento armónico simple de una sola partícula no es muy importante pues siempre podremos elegir el instante t = 0 para el cual x = 0.

  • Frecuencia

  • El número de oscilaciones por unidad de tiempo se llama frecuencia, magnitud que es inversamente proporcional al período. Se representa con la letra f y su unidad es el Hertz (Hz).
  • que establece la relación entre la frecuencia y la frecuencia angular.
  • Unidades
  • El período T como es un tiempo en el Sistema Internacional se mide en segundos
  • La frecuencia f que es inversa del período se mide en el Sistema Internacional en Hz (Hertz) que tiene la dimensión de un tiempo elevado a la menos uno.
  • Utilizando la frecuencia o el período la expresión de la posición en función del tiempo resulta






http://www.youtube.com/watch?v=Cw9eFeVY74I



POR: NORELLA MARIA QUINTERO HENAO




(MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE)

POR: DANY GIRALDO MUÑOZ.


DEFINICIONES:



Un movimiento se llama periódico cuando a intervalos regulares de tiempo se repiten los valores de las magnitudes que lo caracterizan. Un movimiento periódico esoscilatorio si la trayectoria se recorre en ambas direcciones. Un movimiento oscilatorio es vibratorio si su trayectoria es rectilínea y su origen se encuentra en el centro de la misma.El movimiento ARMÓNICO es un movimiento vibratorio en el que la posición, velocidad y aceleración se pueden describir mediante funciones senoidales o cosenoidales. De todos los movimientos armónicos, el más sencillo es el Movimiento Armónico Simple, que es al que nos referiremos de aquí en adelante.El MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE es aquel en el que la posición del cuerpo viene dada por una función del tipo:
external image image001.gif
cada una de las magnitudes que aparecen en esta ecuación:

Elongación (y): es la distancia del móvil al origen (O) del movimiento en cada instante.
Amplitud (A): es la elongación máxima que se alcanza.
Periodo (T): tiempo en que tarda en realizarse una vibración completa.
Frecuencia (f): número de vibraciones completas realizadas en la unidad de tiempo. . Es la inversa del período: external image image002.gif
Pulsación o frecuencia angular (ω): external image image003.gif
Desfase, fase inicial o corrección de fase (φ): su valor determina la posición del cuerpo en el instante inicial. Más adelante veremos su significado.

REPRESENTACIÓN:

Para simplificar en un principio, se supone el caso particular en el que no hay desfase, es decir φ=0. En este caso la ecuación del movimiento toma la forma:y= A · sen (φ·t)
Ecuaciones del Movimiento Armónico Simple
Fórmulas:
x = A . cos . w . t
x = elongación
r = A = radio
t = tiempo
w = velocidad angular
Vx = - V . sen Ø
V = w . r
h = w . t
w . t = V = Vector representativo de la velocidad lineal.
Vx = proyección de "Y" sobre el eje "X"
h = ángulo
Vx = -2 . F . A . sen (2 . )
Vx = + w " A2 - x2
Ax = - w2 . A . cos. w . t
Ax = - Ac . cos Ø
Ac = proyección de aceleración sobre el eje horizontal
Ac = w2 . x
Ac = aceleración centrípeta
t = 2  " mk
T = periodo


  • El Movimiento Armónico Simple es un movimiento periódico en el que la posición varía según una ecuación de tipo senoidal o cosenoidal.
  • La velocidad del cuerpo cambia continuamente, siendo máxima en el centro de la trayectoria y nula en los extremos, donde el cuerpo cambia el sentido del movimiento.
  • El M.A.S. es un movimiento acelerado no uniformemente. Su aceleración es proporcional al desplazamiento y de signo opuesto a este. Toma su valor máximo en los extremos de la trayectoria, mientras que es mínimo en el centro.
  • Podemos imaginar un M.A.S. como una proyección de un Movimiento Circular Uniforme. El desfase nos indica la posición del cuerpo en el instante inicial.


n movimiento armónico simple es el que describe una partícula sometida a una fuerza restauradora proporcional a su desplazamiento. Se genera entonces un movimiento periódico, es decir que se repite cada cierto intervalo de tiempo. No todos los movimientos periódicos son armónicos. Para que lo sean, la fuerza restauradora debe ser proporcional al desplazamiento.
El problema del oscilador armónico simple aparece con mucha frecuencia en Física, ya que una masa en equilibrio bajo la acción de cualquier fuerza conservativa, en el límite de movimientos pequeños, se comporta como un oscilador armónico simple.


A continuación se explica el movimiento que describe la masa bajo la acción de la fuerza recuperadora del muelle.
external image muelle.gif
external image hooke.gif

La masa sujeta al muelle describe un movimiento oscilatorio. Para calcular su aceleración utilizamos la Segunda Ley de Newton:
external image acel1.gifexternal image acel2.gif

Definimos la frecuencia angular ω como:
external image omega.gif
Sus unidades en el SI son rad/s.
Posición, velocidad y aceleraciónPara calcular la posición de la masa en función del tiempo habría que resolver la ecuación diferencial anterior que relaciona la aceleración con el desplazamiento.
Sin embargo, para simplificar vamos a dar la solución. Derivándola dos veces se demuestra fácilmente que satisface la Segunda Ley de Newton.

external image despl.gif

La constante A que aparece en la expresión anterior se denomina amplitud del movimiento, y es el máximo desplazamiento de la masa con respecto a su posición de equilibrio x = 0. Sus unidades en el SI son los metros (m).

El argumento del cosenoexternal image fase.gif es la fase y se mide en radianes.
δ es la constante de fase y viene determinada por las condiciones iniciales del problema.

external image xt.gif

El tiempo que tarda la masa en efectuar una oscilación completa se denominaperiodo (T), y está relacionado con la frecuencia angular mediante la expresión:
external image periodo.gif
El número de oscilaciones que se realiza en un segundo se llama frecuencia ν y se calcula como la inversa del periodo:
external image frecuencia.gif
Se mide en s-1 o Herzios (Hz)
De la definición de frecuencia se obtiene que external image omeganu.gif
La velocidad y la aceleración de una partícula que describe un movimiento armónico simple se obtiene derivando la ecuación de la posición en función del tiempo.
Posición, velocidad y aceleración de una partícula que describe un movimiento armónico simple. La fase en este caso es cero.
external image curvasMAS.gif

external image despl2.gif
external image vel.gif
external image acel3.gif

EnergíaSi no existe rozamiento entre el suelo y la masa, la energía mecánica de esta última se conserva. Ya se vio en el apartado de trabajo que la fuerza recuperadora del muelle es una fuerza conservativa y se calculó su energía potencial asociada, que es una parábola:
external image ep_elast2.gif

En la siguiente figura se ha representado la energía total, la energía potencial elástica y la cinética para distintas posiciones de una partícula que describe un movimiento armónico simple.
external image energiamuelle.gif

La energía mecánica se conserva, por lo que para cualquier valor de x la suma de la energía cinética y potencial debe ser siempre:

external image etotal.gif
.

santiago valencia martinez
external image mcuani.gif

  • l movimiento armónico es el del punto que vemos moverse sobre el eje vertical (sube y baja). El movimiento circular de la partícula que da vueltas alrededor de la circunferencia, aunque es un movimiento periódico, no es un movimiento armónico. Sin embargo, ambos movimientos están directamente relacionados, puesto que uno genera el otro. Esta circunstancia nos va a permitir encontrar fácilmente una ecuación para el m.a.s., simplemente relacionándolo con el movimiento circular auxiliar.

Veamos cómo. La figura 1, representa lo que hemos visto en el gráfico animado anterior. En ella pueden verse lo que significa cada una de las variables que hemos definido.
FIGURA 1:
Movimiento armónico simple
mcu.gif (3508 bytes)
mcu.gif (3508 bytes)
Y = elongación
Representa la distancia que separa a la partícula vibrante de la posición de equilibrio en cualquier instante. Físicamente, la elongación representa el estado de vibración de la partícula en cualquier instante.
A = amplitud
Representa el máximo valor que puede tomar la elongación.
Fo = fase inicial
Representa la posición angular de la partícula para t = 0 en el m.c.u. auxiliar.
w = pulsación
Representa la velocidad angular del m.c.u. auxiliar. Es una constante del m.a.s.
F = w.t + Fo
fase
Representa la posiciónangular de la partícula, en el m.c.u. auxiliar, para tiempo t.





  • leyes:


Ley de Hooke
Cuando una fuerza externa actúa sobre un material causa un esfuerzo o tensión en el interior del material que provoca la deformación del mismo. En muchos materiales, entre ellos los metales y los minerales, la deformación es directamente proporcional al esfuerzo.
No obstante, si la fuerza externa supera un determinado valor, el material puede quedar deformado permanentemente, y la ley de Hooke ya no es válida. El máximo esfuerzo que un material puede soportar antes de quedar permanentemente deformado se denomina límite de elasticidad.
external image Image4692.gif


imágenes:


external image images?q=tbn:ANd9GcQOGdo0f5ByOCvZp5BbfgoFNRGdm6p20tQ5cc0Vovej4gGffZ1Dvg
external image images?q=tbn:ANd9GcRyW77qDKKKK93jP_TDj6iNghhj7SYa2ZLYz6O8Vo0VDQaRFG5M



external image images?q=tbn:ANd9GcQL1ymCcFZyHf_ROlwmRc_h0DdF8Xo1CNkZZhgPkQq6br_ytXL3Xg


como conclusion debemos tener en cuenta que un movimiento armonico simple normalmente se alcanza si fucionamos o sumamos el movimiento circular uniforme con el movimiento oscilatorio es decir es la proyeccion de un movimieno circular en un movimiento oscilatorio ejemplo:

external image Pendulum3.gif



external image MOTOR_2T.gif

Ejemplos de Movimiento Armonico Simple

Link:
http://www.youtube.com/watch?v=M_5GddFrzjI



Link:
http://www.youtube.com/watch?v=XnwgmzZVyWk&feature=related


Realizado Por: Juan Pablo Monroy

movimiento armmonico simple

El movimiento armónico simple (se abrevia m.a.s.), también denominado movimiento vibratorio armónico simple (abreviado m.v.a.s.), es un movimienoperiodico, oscilatorio y vibratorio en ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional al desplazamiento pero en sentido opuesto.Y que queda descrito en función del un tiempo por una funcion armonica (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un m.a.s.


Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempo t por la ecuación
x=A·sen(ωt+φ)
external image oscila1_2.gif
donde

    • A es la amplitud.
    • w la frecuencia angular.
    • w t+j la fase.
    • j la fase inicial.
por johann parra



























Por juan david Sanchez Osorio

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Es un movimiento periódico, oscilatorio y vibratorio en ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional al desplazamiento pero en sentido opuesto.Y que queda descrito en función del tiempo por una función armónica (seno o coseno).

El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila de un lado al otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo.

Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo.El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.

Es también, el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibración; pero, pongamos atención, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultáneo de todos los puntos de la cuerda.


Fasorxva.gif
Fasorxva.gif



Definición: es un movimiento vibratorio
bajo la acción de una fuerza recuperadora elástica, proporcional al desplazamiento y en ausencia de todo rozamiento.
Solemos decir que el sonido de una determinada nota
musical se representa gráficamente por la función seno. Ésta representa un movimiento vibratorio llamado movimiento armónico simple, que es aquel que se obtiene cuando los desplazamientos del cuerpo vibrante son directamente proporcionales a las fuerzas causantes de este desplazamiento.
Un ejemplo de este movimiento se puede encontrar a partir del desplazamiento de un
punto cualquiera alrededor de toda la longitud de una circunferencia.
Cuando un punto (P) recorre una circunferencia con velocidad uniforme, su proyección (Q) sobre cualquiera de los diámetros de esta, realiza un tipo de movimiento armónico simple. Cada vez que el punto se encuentre en uno de los cuatro cuadrantes de la circunferencia, se trazará una perpendicular desde el punto a un diámetro fijo de la circunferencia. A medida que el punto escogido se mueve a velocidad uniforme, el punto proyectado en el diámetro, realizará un movimiento oscilatorio rectilíneo.
Para representar gráficamente (en una función) el movimiento armónico simple de un punto, se toman como abscisas los tiempos medidos como fracciones del período (T/12, T/6, T/4...) que es el tiempo que este punto tarda en dar una vuelta completa a la circunferencia; y como a ordenadas las sucesivas prolongaciones del mismo. La resultante es una sinusoide, ya que la variación del tiempo t, se traduce como una variación del sin x, donde x es el ángulo que forma el radio con el semi-eje
positivo de abscisas (x es proporcional al tiempo).
external image mov1.jpg