ENERGÍA EN LOS SISTEMAS OSCILANTES



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Si el sistema es ideal, la energía mecánica es constante, siendo la suma entre la energía cinética y la energía potencial eláctica, las cuales varian a lo largo del periodo, pero siempre manteniendo la energía mecánica constante. Las ecuaciones son

Ek = m·v² / 2

Ep = k·x² / 2

donde
Ek = energía cinética
m = masa
v = velocidad
Ep = energía potencial
k = constante elástica
x = posición

Es decir, la energía cinética varía con el cuadrado de la velociadd, mientras que la energía potencial es proporcional al cuadrado de la posición. A la vez, la posicion y la velocidad son funciones cosenoidales del tiempo

Si el sistema no es ideal, aparece la fuerza de roce entre el cuerpo y el medio donde se mueve. La fuerza de roce es no conservativa, es decir, va convirtiendo al energía mecánica en calor, por lo cual las energías cinética y potencial son cada vez menores, hasta que el cuerpo se detiene y toda la energía mecñanica se ha transformado en calor




Oscilación libre
En el caso en que un sistema reciba una única fuerza y oscile libremente hasta detenerse por causa de la amortiguación, recibe el nombre de oscilación libre. Éste es por ejemplo el caso cuando pulsamos la cuerda de una guitarra.

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FIGURA 01: Oscilación libre. La envolvente dinámica muestra fases de ataque y caída
Oscilación amortiguada
Si en el caso de una oscilación libre nada perturbara al sistema en oscilación, éste seguiría vibrando indefinidamente. En la naturaleza existe lo que se conoce como fuerza de fricción (o rozamiento), que es el producto del choque de las partículas (moléculas) y la consecuente transformación de determinadas cantidades de energía en calor. Ello resta cada vez más energía al movimiento (el sistema oscilando), produciendo finalmente que el movimiento se detenga. Esto es lo que se conoce como oscilación amortiguada.

HECHO POR : MARIA CAMILA GIRALDO MONTOYA


Hecho por: Richard Bedoya Villegas

existe un especial tipo de movimiento, corriente en los sistemas de partículas, que, por su aplicabilidad a diferentes campos de la física, tanto teórica como experimental, merece una especial atención.
El movimiento oscilatorio corresponde a la situación de un sistema de partículas, S, que está sometido tanto a fuerzas conservativas o como disipativas en el caso más general, con un número cualquiera n de grados de libertad, y de forma que durante un intervalo T de tiempo el mínimo de su energía potencial se encuentra dentro de un entorno, simétrico o asimétrico, repitiéndose periódicamente los valores de tal entorno en el movimiento real del sistema.
El estudio matemático de un sistema oscilante puede hacerse de forma muy precisa construyendo su función de Lagrange, para, a partir de ella, obtener tanto sus ecuaciones de movimiento como las restantes magnitudes cinemáticas y dinámicas.



  • 2. Los tipos de sistemas oscilantes:
Si llamamos V a la función potencial de las fuerzas conservativas que actúan sobre el sistema de partículas oscilante, se tiene que V puede depender o no del tiempo.
Llamaremos Oscilador forzado a un sistema oscilante en el que las fuerzas conservativas dependen del tiempo. Siempre es posible descomponer, en este caso, la función potencial en suma de una parte independiente del tiempo y otra parte que si depende del tiempo. A la parte del potencial independiente del tiempo se le puede llamar Potencial de oscilación, y a la parte que sí depende del tiempo Potencial recuperador.
En lo que respecta a las fuerzas no conservativas, es decir, a las fuerzas disipativas que actúan sobre el sistema oscilante, estas podrían o no considerarse nulas durante todo el intervalo de oscilación. El caso en el que las fuerzas disipativas no son idénticamente nulas durante el periodo de oscilación corresponde al oscilador que llamaremos Oscilador amortiguado, o bien, Oscilador con amortiguamiento.
Se define como Oscilador libre a un sistema oscilante que no es forzado ni amortiguado, es decir, un oscilador sobre el que no actúan fuerzas conservativas dependientes del tiempo ni tampoco está sometido a fuerzas de disipación.
Todos los casos, por tanto, ser pueden clasificar así:
    • - Oscilador no forzado ni amortiguado (Oscilador libre).


    • - Oscilador no forzado pero con amortiguamiento


    • - Oscilador forzado sin amortiguamiento.


    • - Oscilador forzado y amortiguado.
  • 3. Los osciladores armónicos:
De lo anterior, por tanto, entendemos que es muy necesario conocer tanto la estructura de la función potencial del campo conservativo en el que se encuentra el sistema oscilante, para poder decidir si se trata o no de un sistema forzado y el grado de su forzamiento, como, también, conocer la función o funciones disipativas para establecer el grado de amortiguamiento del sistema.
Sin embargo, el problema puede ser tratado matemáticamente por aproximación si las funciones indicadoras del potencial de oscilación y del potencial de recuperación son lo suficientemente pequeñas como para poder tomar los primeros términos en una expresión de los mismos mediante un desarrollo de Taylor. El error que se comete en este tipo de aproximación sirve para definir lo que se da en llamar Oscilador armónico
Se define como Oscilador armónico, u Oscilador lineal al sistema oscilante en el que es despreciable (a veces se dice "inferior a una diezmilésima") el error cometido al tomar los dos primeros sumandos no nulos del desarrollo de Taylor de los potenciales de oscilación y recuperación.
Un Oscilador armónico libre es, pues, un oscilador armónico que no está forzado ni amortiguado, esto es, en donde no hay potencial dependiente del tiempo ni fuerzas de disipación.
En los casos de osciladores armónicos amortiguados, con y sin forzamiento, es necesario, para construir sus ecuaciones de movimiento conocer la forma de las funciones de disipación, y, dependiendo de estas funciones, se puede definir un gran número de osciladores armónicos amortiguados, entre los cuales cabe destacar, por su importante aplicación en el contexto de la física experimental, el llamado Oscilador amortiguado de Stokes, cuya condición de definición es la especial forma de las funciones de disipación Q' como suma de los productos de ciertas constantes por las componentes de la velocidad, constantes que se denominan constantes de Stokes.
En lo que respecta, por otra parte, a la forma de las funciones potenciales dependientes del tiempo, en los osciladores forzados, estas pueden tener un comportamiento periódico, generalmente de forma cosinusoidal o sinusoidal, dando lugar a los osciladores denominados Osciladores forzados, con forzamiento periódico.
Se tienen, en definitiva, los casos clásicos siguientes para osciladores armónicos:
    • - Oscilador armónico libre.


    • - Oscilador armónico forzado cosenusoidalmente.


    • - Oscilador armónico forzado sinusoidalmente.


    • - Oscilador armónico no forzado y con amortiguamiento de Stokes.


    • - Oscilador armónico forzado cosinusoidalmente y con amortiguamiento de Stokes.


    • - Oscilador armónico forzado sinusoidalmente y con amortiguamiento de Stokes.
  • 4. Tratamiento matemático:
4.1. Tratamiento matemático general:
Veamos en general la construcción de la funciones dinámicas del sistema oscilante, esto es, la función de energía potencial, la función de energía cinética y las funciones de energía disipativa, expresadas en un punto cualquiera del espacio de las fases, es decir, de las coordenadas generalizadas,external image osci01.gif , y velocidades generalizadas, external image osci02.gif :
- Energía Potencial: external image osci03.gif



(Potencial de oscilación:
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, Potencial recuperador:
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)
- Energía Cinética: external image osci06.gif

- Energía Disipativa o amortiguamiento: external image osci07.gif
Representaremos por (qk0)n al punto del espacio de las fases en donde la energía potencial presenta su mínimo:


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cumpliéndose, evidentemente, que


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por tratarse de un mínimo.


- Amortiguamiento de Stokes: external image osci10.gif
- Función de Lagrange o Lagrangiana:



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- Ecuaciones de Lagrange:

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que son las ecuaciones del movimiento del sistema oscilador.
4.2. Tratamiento matemático de los osciladores armónicos:
Aproximamos la función potencial, tanto de oscilación como de recuperación, mediante los dos primeros términos no nulos del desarrollo de Taylor:
Potencial de oscilación:



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y, siendo nulo el término central, por tratarse de la derivada en un mínimo:


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Potencial recuperador o de forzamiento:


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Y si tomamos el origen de medición del potencial en el punto (qk0)n del mínimo, se tendría:


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Con lo cual, finalmente, se expresarían ambos potenciales de la manera siguiente:
Potencial de oscilación:



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Potencial recuperador:


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(llamando, para simplificar,
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)

Podemos, en definitiva, escribir la lagrangiana de los osciladores armónicos con la expresión:



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la cual, al ser sustituida en las ecuaciones de Lagrange, mostrarían las ecuaciones del movimiento del sistema oscilante armónico.
  • 5. Ejemplo de obtención de ecuaciones de movimiento en osciladores armónicos unidimensionales:
En el caso de una sola dimensión, se tiene que la lagrangiana se podría expresar por


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y el amortiguamiento de Stokes vendría dado por:


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5.1. Oscilador armónico libre (sin forzamiento y sin amortiguamiento):
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Ecuación del movimiento:


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que, al integrarse, da:


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5.2. Oscilador armónico forzado sin amortiguamiento:
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Ecuación del movimiento:

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Si el potencial de forzamiento, f(t), es periódico, sinusoidal o cosinusoidal, se puede escribir una expresión del tipo


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,
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Así, por ejemplo, si se trata del oscilador armónico con forzamiento periódico sinusoidal de ecuación del movimiento dada por


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Se tiene, al integrar:


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5.3. Oscilador armónico no forzado con amortiguamiento de Stokes:
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Ecuación del movimiento:

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que, al integrar, nos da:


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5.4. Oscilador armónico forzado y con amortiguamiento:
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Ecuación del movimiento:


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Si el potencial de forzamiento, f(t), es periódico, sinusoidal o cosinusoidal, se puede escribir una expresión del tipo



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,
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Para un forzamiento periódico cosinusoidal dado por

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Se tiene una solución del tipo


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HECHO POR : LEIDY YURANY MUÑOZ ZAPATA.

PERIODO DE UN MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE.

Al comparar las ecuaciones de la posicion y la aceleracion de un movimiento armonico simple encontramos que la aceleracion y la elongacion (x) se relaciona mediante la formula ( a= -W2X ). Recordando que la condicion para que un movimiento sea armonico simple es que la fuerza de restitucion sea ( T= 2 PI RADIALES, raiz de M sobre K ).
Así el periodo de oscilación de un resorte depende de la masa del objeto y la constante de elasticidad.

LA ENERGIA EN LOS SISTEMAS OSCILANTES.

La Energia en el Movimiento Armonico Simple.

un movimiento armonico simple se produce en ausencia de friccion, pues la fuerza neta que actua sobre un objeto ( fuerza de restitucion ) es conservativa y en consecuencia la energia mecanica total se conserva.
Al estirar o comprimir el resorte se almacena la energia potencial (EP) por efecto del trabajo realizado sobre el. En la figura se observa que los puntos extremos A y -A, la energia potencial es maxima, y nula cuando esta en posicion de equilibrio.
Por otra parte mientras el objeto oscila la energia cinetica es cero en los puntos extremos de la trayectoria y maxima al pasar por la posicion de equilibrio.
Al oscilar el analisis anterior tenemos que en el resorte la energia potencial es elastica.

EL PENDULO SIMPLE.

El periodo: El pendulo simple esta constituido por un cuerpo, generalmente regular, que oscila suspendido de un hilo cuya masa se asume como despreciable.
Cuando el pendulo oscila se genera una amplitud ( su maxima elongacion, X ) y existe una fuerza de restitucion que pretende llevar al objeto nuevamente a su posicion de equilibrio.

ENERGÍA EN UN PENDULO SIMPLE.

En el M.A.S de un pendulo la energia se conserva en los extremos A y -A, de la trayectoria del pendulo, la energia cinetica de la esfera es igual a cero y la energia potencial gravitacional, medida desde la posicion mas baja, de la trayectoria es maxima. Por lo tanto la energia mecanica en una pendulo es toda potencial. En la posicion de equilibrio la energia cinetica es maxima y la energia potencial es cero.

SISTEMAS RESONANTES.

Si se hacen oscilar dos pendulos los periodos de oscilacion cada uno seran iguales, por lo cual si el pendulo 1 se suelta desde la posicion A y al mismo tiempo que el pendulo 2 desde la posicion A, los dos pasaran por el tiempo por la posicion de equilibrio.

OSCILACIONES AMORTIGUADAS.

Debido a la uerza de rosamiento, en cualquier sistema oscilatorio real, siempre presentan perdidas de energia. Por ejemplo; en un pendulo o en una masa atada al extremo de un resorte oscilante, su amplitud decrece constantemente a medida que pasa el tiempo, hasta adquirir el reposo en su posicion de equilibrio. En estos casos se denomina armonico amortiguado. El amortiguamiento correspondiente, por lo general, a la resistencia del aire y la friccion interna del sistema oscilante. La energia se disipa, convirtiendose en energia termica. Reflejada en menor amplitud de oscilación.

OSCILACIONES FORZADAS.

Para que un sistema real oscile durante un largo tiempo es necesario, que por medio de una fuerza externa, recupere la energia perdida en el rozamiento. Por ejemplo; al considerar el movimiento de un columpio. Si no existe la intervencion de una persona que mece el columpio terminara deteniendose en algun momento. Por el contrario, si el columpio se empuja cada vez con mas fuerza, la oscilacion sera forzada. De esta manera se verifica que existen dos condiciones para mantener o aumentar la amplitud de un movimiento armonico simple.



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VIDEO
http://www.youtube.com/watch?v=U4cAeWZHyNE


YOHANA ANDREA VELEZ CASTAÑO


2. Los tipos de sistemas oscilantes:

Si llamamos V a la función potencial de las fuerzas conservativas que actúan sobre el sistema de partículas oscilante, se tiene que V puede depender o no del tiempo.


Llamaremos Oscilador forzado a un sistema oscilante en el que las fuerzas conservativas dependen del tiempo. Siempre es posible descomponer, en este caso, la función potencial en suma de una parte independiente del tiempo y otra parte que si depende del tiempo. A la parte del potencial independiente del tiempo se le puede llamar Potencial de oscilación, y a la parte que sí depende del tiempo Potencial recuperador.


En lo que respecta a las fuerzas no conservativas, es decir, a las fuerzas disipativas que actúan sobre el sistema oscilante, estas podrían o no considerarse nulas durante todo el intervalo de oscilación. El caso en el que las fuerzas disipativas no son idénticamente nulas durante el periodo de oscilación corresponde al oscilador que llamaremos Oscilador amortiguado, o bien, Oscilador con amortiguamiento.


Se define como Oscilador libre a un sistema oscilante que no es forzado ni amortiguado, es decir, un oscilador sobre el que no actúan fuerzas conservativas dependientes del tiempo ni tampoco está sometido a fuerzas de disipación.
Todos los casos, por tanto, ser pueden clasificar así:
    • - Oscilador no forzado ni amortiguado (Oscilador libre).


    • - Oscilador no forzado pero con amortiguamiento


    • - Oscilador forzado sin amortiguamiento.


  • - Oscilador forzado y amortiguado.
  • hecho por: LEIDY PAOLA GARCIA HENAO


vídeo:

http://www.youtube.com/watch?v=TEVPZXS_wPY&feature=related

por :Jhoana Castaño Florez



Si el sistema es ideal, la energía mecánica es constante, siendo la suma entre la energía cinética y la energía potencial eláctica, las cuales varian a lo largo del periodo, pero siempre manteniendo la energía mecánica constante. Las ecuaciones son
Ek = m·v² / 2
Ep = k·x² / 2
donde Ek = energía cinética m = masa v = velocidad Ep = energía potencial k = constante elástica x = posición
Es decir, la energía cinética varía con el cuadrado de la velociadd, mientras que la energía potencial es proporcional al cuadrado de la posición. A la vez, la posicion y la velocidad son funciones cosenoidales del tiempo
Si el sistema no es ideal, aparece la fuerza de roce entre el cuerpo y el medio donde se mueve. La fuerza de roce es no conservativa, es decir, va convirtiendo al energía mecánica en calor, por lo cual las energías cinética y potencial son cada vez menores, hasta que el cuerpo se detiene y toda la energía mecñanica se ha transformado en calor.





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Jonathan Andres Torres Marin



hecho por Dany Giraldo Muñoz


Cinemática de un M.A.S.

En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos la velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la expresión de la velocidad.
La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por la ecuación
x=A·sen(ωt+φ)
Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil
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Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del móvil
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Este resultado se suele expresar en forma de ecuación diferencial
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Esta es la ecuación diferencial de un MAS donde x puede ser cualquier magnitud: un desplazamiento lineal, un desplazamiento angular, la carga de un condensador, una temperatura, etc.
Puede comprobarse que la solución de esta ecuación diferencial es

x=A sen(w t+j )

Condiciones iniciales
Conociendo la posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 en el instante t=0.
x0=A·senj

v0=Aw·cosj
se determinan la amplitud A y la fase inicial φ
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Dinámica de un M.A.S.

Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresión de la fuerza necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste.
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Como la [[http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/energia/energia.htm#Fuerza conservativa. Energía potencial| fuerza F es conservativ]]a. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y el final de la energía potencial Ep.
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La expresión de la energía potencial es
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Donde c es cualquier constante. Se toma como nivel cero de la energía potencial Ep=0 cuando el móvil está en el origen, x=0, por lo que c=0
La energía total E, es la suma de la energía cinética Ek y de la energía potencial Ep que es constante.
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Curva de energía potencial

La función Ep=mω2x2/2 representa una parábola cuyo vértice está en el origen, que tiene un mínimo en x=0 cuyo valor es Ep=0.
Las región donde se puede mover la partícula está determinada por la condición de que la energía cinética ha de ser mayor o igual a cero Ek>=0. En otras palabras, que la energía total sea mayor o igual que la energía potencial E>=Ep. Si la partícula tiene una energía total E, la partícula solamente se podrá mover en la región comprendida entre-A y +A, siendo A la amplitud de su M.A.S.
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El módulo y el sentido de la fuerza vienen dados por la pendiente de la recta tangente cambiada de signo. Por tanto, la fuerza que actúa sobre la partícula es negativa a la derecha del origen y positiva a la izquierda.
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En el origen la pendiente es nula, la fuerza es nula, una situación de equilibrio, que por coincidir con un mínimo de la energía potencial es de carácter estable.

Energía del movimiento armónico simple

external image 300px-Energia_MAS.svg.pngexternal image magnify-clip.pngEnergía del movimiento armónico simple frente a la elongación.
Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son centrales y, por tanto, conservativas. En consecuencia, se puede definir un campo escalarllamado energía potencial (Ep) asociado a la fuerza. Para hallar la expresión de la energía potencial, basta con integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obteniéndose:

  • (15)
     E_p = frac{1}{2} kx^2
    E_p = frac{1}{2} kx^2
La energía potencial alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria y tiene valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto de equilibrio.
La energía cinética cambiará a lo largo de las oscilaciones pues lo hace la velocidad:

  • (16)
     E_{c}=frac{1}{2}m, v^{2}
    E_{c}=frac{1}{2}m, v^{2}
La energía cinética es nula en -A o +A (v=0) y el valor máximo se alcanza en el punto de equilibrio (máxima velocidad Aω).

  • (17)
     E_{c}^{max}=frac{1}{2}m,omega^{2}A^{2}
    E_{c}^{max}=frac{1}{2}m,omega^{2}A^{2}
Como sólo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica (suma de la energía cinética y potencial) permanece constante.

  • (18)
     E_p + E_c = E_m ,
    E_p + E_c = E_m ,
Finalmente, al ser la energía mecánica constante, puede calcularse fácilmente considerando los casos en los que la velocidad de la partícula es nula y por lo tanto la energía potencial es máxima, es decir, en los puntos
x = -A
x = -A
y
x = A
x = A
. Se obtiene entonces que,


  • (19)
    E_{m} = E_p^{max} + 0 = frac{1}{2} k A^{2}
    E_{m} = E_p^{max} + 0 = frac{1}{2} k A^{2}
O también cuando la velocidad de la partícula es máxima y la energía potencial nula, en el punto de equilibrio
x = 0
x = 0


  • (20)
    E_{m} = 0 + E_c^{max} = frac{1}{2} m,omega^{2}A^{2}
    E_{m} = 0 + E_c^{max} = frac{1}{2} m,omega^{2}A^{2}

En condiciones de ingravidez no es posible medir la masa de un cuerpo a partir de su peso. Sin embargo, se puede recurrir al principio del movimiento armónico simple para realizar tal medición.
Para ello se instaló en la estación espacial Skylab un dispositivo (experimento M1721 ) destinado a medir la masa de los tripulantes consistente en una silla oscilante capaz de medir su periodo de oscilación
T
T
electrónicamente. A partir de este dato, y conociendo la constante de fuerza del resorte unido a la silla, es posible entonces calcular la masa del individuo:


  • (21)
    > T = 2 pi sqrt{frac{m}{k}} quad Rightarrow quad m = left ( frac{T}{2 pi} right )^{2} k>
    > T = 2 pi sqrt{frac{m}{k}} quad Rightarrow quad m = left ( frac{T}{2 pi} right )^{2} k>





Sistema autooscilante

Las oscilaciones del péndulo de resorte se amortiguan a causa del rozamiento, pero si se compensan sistemáticamente las pérdidas de energía, las oscilaciones dejan de amortiguarse. Como ejemplo, consideremos el mecanismo de producción de oscilaciones entretenidas en el dispositivo
Una laminilla flexible, que va sujeta al peso, toca periódicamente el contacto y cierra el circuito del electroimán por cierto tiempo. Durante este tiempo el electroimán atrae el peso y hace que aumente su energía cinética. De este modo, en cada período las pérdidas de energía debidas al rozamiento se compensan con el trabajo de la fuerza de atracción que sobre l peso ejerce el electroimán, y el funcionamiento de este último está regido, mediante el contacto interruptor, por el mismo cuerpo que oscila. Este dispositivo es el representante típico de una clase muy difundida de sistemas oscilantes que realizan oscilaciones entretenidas a expensas de la acción de una fuente de energía que no posee propiedades oscilatorias. Estos sistemas se llaman autooscilantes.
Todo sistema autooscilante consta de las cuatro partes:
a) un sistema oscilante.
b) una fuente de energía, a expensas de la cual se compensan las pérdidas (en el ejemplo, la fuente de corriente).
c) una válvula, es decir, un órgano que regula el suministro de energía al sistema oscilante en porciones determinadas y en el instante preciso en el ejemplo, el contacto interruptor).
d) una reacción, muy característica de todos los sistemas autooscilantes, que consiste en la acción contraria del sistema oscilante sobre la válvula, o sea, en el gobierno del funcionamiento de la válvula a expensas de los procesos que tienen lugar en el propio sistema oscilante (en los dispositivo la reacción se efectúa por medio del electroimán, que atrae el peso y con ello abre el contacto).
Las autooscilaciones están muy difundidas en: la naturaleza y en la técnica. Son sistemas autooscilantes los timbres eléctricos, los zumbadores, las máquinas de vapor y los motores de combustión interna, los martillos de picar, etc. Realizan autooscilaciones las cuerdas bajo la acción del arco (violín, violonchelo), las columnas de aire en los tubos (instrumentos musicales de viento), las lengüetas en las armónicas (acordeones) y las cuerdas bucales al hablar o cantar. Hay que advertir que en muchos sistemas autooscilantes el mecanismo de reacción está oculto y dividir el sistema en sus partes principales es a veces muy difícil. Para el funcionamiento de un sistema autooscilante desempeña un papel primordial la elección de la fase de la reacción.
Es necesario que, durante el intervalo de tiempo en que la fuerza actúa sobre el sistema, coincidan las direcciones de la fuerza y de la velocidad. En estas condiciones la fuente de energía realiza sobre el sistema oscilante un trabajo positivo, es decir, le comunica energía. Si la dirección de la fuerza es distinta de la dirección de la velocidad, el trabajo será negativo, la fuente absorberá energía del sistema oscilante y, con esto, reforzará el amortiguamiento.
En el primer caso se dice que en el sistema actúa una reacción positiva, en el segundo, una reacción negativa. La reacción positiva se utiliza para excitar las autooscilaciones; la negativa, para suprimir las autooscilaciones indeseables allí donde no hacen falta.
En el dispositivo está asegurada la reacción positiva, por lo que en él se excitan y mantienen las autooscilaciones entretenidas. Si el contacto se colocara a la izquierda de la laminilla, el peso sería atraído por el electroimán y se pararía. e incluso si el sistema so obligara a oscilar, sus oscilaciones se amortiguarían pronto, es decir, con mucha más rapidez que en ausencia del electroimán. Así, pues, la introducción en el sistema de la reacción negativa hace que se interrumpan las autooscilaciones y suprimen las oscilaciones libres.

El reloj

Reloj de péndulo
Reloj de péndulo
Un reloj es un sistema autooscilante se representa un mecanismo de reloj con escape de áncora. La rueda de escape o rueda catalina, de dientes oblicuos, está unida rígidamente al tambor dentado en que se apoya la cadena con la pesa. Al extremo superior del péndulo va sujeta el áncora con sus dos uñas, que son dos plaquitas de rubío de otro material duro, curvadas en forma de arcos de circunferencia con centro en el eje del péndulo.

En los relojes de bolsillo, en vez de pesa, se utiliza un muelle espiral (muelle real) y, en vez del péndulo, un balancín o volante sujeto a otro muelle espiral (pelo); el balancín realiza oscilaciones torsionales alrededor de su eje. El sistema oscilatorio es el péndulo o el balancín; la fuente de energía, la pesa elevada o el muelle tenso; la válvula es el áncora, que permite que la rueda de escape gire un diente cada Semiperíodo, y la reacción se produce durante la interacción del áncora con la rueda de escape.
En los instantes en que el péndulo pasa por la posición de equilibrio y tiene la velocidad máxima, un diente de la rueda de escape entre en breve contacto con el extremo de una de las uñas. El diente, al rozar con la uña, empuja el péndulo, es decir, le comunica energía en forma de impulso. Al mismo tiempo la pesa desciende un eslabón de la cadena. Así la energía potencial do la pesa (o del muelle real) se va transmitiendo al péndulo y compensa la pérdida por rozamiento.

http://www.ecured.cu/index.php/Autooscilaciones
http://www.youtube.com/watch?v=cJpJSSNtVxY
http://www.fqt.izt.uam.mx/Profes/JGO/Simulacion/notas_oscilador_simple.pdf

http://www.esi2.us.es/DFA/FFII/Apuntes/Oscilaciones.pdf


POR:YURI ALEJANDRA BERMUDEZ



MARÍA ALEJANDRA CIRO PINEDA 11-4

Energía en el Movimiento Armónico Simple

La energía cinética de una partícula es Ec = 1/2 mv2 = 1/2 mw2A2cos2 (wt +f0), o en función del desplazamiento

Ec = 1/2 mw2 (A2- x2)

Energía potencial

Recordando que F = -dEp/dx y que F = -Kx se obtiene que dEp/dx = Kx

Integrando y eligiendo el cero de la energía potencial en la posición de equilibrio (x=0):



La energía potencial es mínima en la posición de equilibrio y máxima en los extremos x=±A

Sumando la energía cinética y potencial se obtiene la siguiente expresión:

E =Ec +Ep = 1/2 mw2 (A2- x2) + 1/2 mw2 x2 = 1/2 mw2A2 = 1/2Kx2

Durante la oscilación, como muestra el diagrama, hay un intercambio de energía cinética y potencial, manteniéndose la energía total constante ya que se trata de una fuerza conservativa. La figura muestra una energía total de 15 unidades correspondientes a la línea horizontal negra. La línea vertical roja muestra la diferencia entre la energía total y la potencial (indicada por la línea discontinua sobre el eje de abcisas) y por tanto corresponde a la energía cinética. Los límites de oscilación están determinados por sus intersecciones con la curva de energía potencial y corresponden a los puntos ±A. En la dirección http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htm podemos dar valores a la energía.


Curvas de energía potencial

Para finalizar indiquemos que para las moléculas, los estados energéticos aunque se caracterizan por su energía, y es única para ese estado, depende de la conformación de la molécula, de su geometría, así para distintas geometrías, dentro de un mismo estado energético tenemos distintas energías. A su vez, para una geometría dada, podemos tener distintos estados con sus respectivas energías, que si no son degenerados, serán diferentes entre sí .(Ver curvas de energías potencial).

Indicar algo sobre los niveles vibracionales y los rotacionales.

Considerad que para cada estado electrónico, tendremos su curva de energía potencial, que es la suma de la energía electrónica y la de repulsión entre las cargas nucleares; peo además, las moléculas estan vibrando dentro de esa curva de energía potencial, y si se aproxima por un oscilador armónico, se puede ver que esa energía estará cuantizada y los niveles energéticos vendrán definidos por la expresión :



donde la frecuencia vibracional de equilibrio que está relacionada con la contante de fuerza de dicho oscilador ( ) y su masa reducida ( ) por:
(Esta solución la visteis para el oscilador armónico, pero las CEP reales no son parábolas centradas en la distancia de equilibrio. Se consideran anarmonicidades)

Y no sólo vibra la molécula, también puede rotar. Un primer modelo es el considerar la molécula como un rotor rígido, cuyos niveles energéticos se pueden calcular en función del momento de inercia ( para una molécula diatómica),



Por último, también puede moverse, transladarse, y tendra la energía de traslación de su centro de masas , siendo la velocidad con que se desplaza.





No olvidar las diferentes magnitudes de cada una de estas componentes energéticas.


Figura 4.1: Curvas de energía potencial de la molécula de .


Figura 4.2: Curvas de energía potencial de la molécula de . (MC-SCF-cc-pV5Z)

UN CIRCUITO MEZCLADORAUTOOSCILANTE


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Energia en los sistemas oscilantes

Cuando deformamos el resorte una longitud
A
A
con respecto a la posición de equilibrio, la fuerza recuperadora del resorte será
F = - k A
F = - k A
. Cuando el resorte está en equilibrio, la fuerza recuperadora suplementaria es cero.
La energía que es capaz de desarrollar el resorte es:
 W =vec F cdot vec {Delta (x-x_0)} = F Delta (x-x_0) cos theta
W =vec F cdot vec {Delta (x-x_0)} = F Delta (x-x_0) cos theta
Donde
theta
theta
es el ángulo formado por
F
F
e
Delta (x -x_0)
Delta (x -x_0)
, que en nuestro caso, dado que la
F
F
y la deformación tienen siempre sentidos opuestos, el ángulo es
 pi
pi
, y como
cos pi = -1
cos pi = -1
. Como por otra parte el valor máximo de
Delta (x -x_0)
Delta (x -x_0)
es
A
A
, la ecuación de la energía del oscilador será:
 W = - FA
W = - FA
La fuerza es variable, y varía entre los valores
 -k A
-k A
y
 0
0
. Esta variación es lineal y, en consecuencia podremos sustituirla en la ecuación por su valor medio, que será la semisuma de los valores máximo
 -k A
-k A
y mínimo,
 0
0
.
 F = frac{- kA +0}{2} = frac {-k A}{2}
F = frac{- kA +0}{2} = frac {-k A}{2}
La energía máxima del resorte será:
 W = - frac{-k A}{2} A = frac{1}{2} k A^2
W = - frac{-k A}{2} A = frac{1}{2} k A^2
Es decir, la energía sólo depende de la constante de elasticidad del resorte y de la distancia a la posición de equilibrio. Y es, en los extremos, una energía potencial elástica.Cuando estiramos el resorte una longitud
A
A
y soltamos, el resorte comienza a moverse, desde una velocidad cero, en los extremos, puesto que pasa de
v>0
v>0
a
v<0
v<0
y viceversa, a un valor máximo cuando el resorte pasa por la posición de equilibrio.
La energía asociada al movimiento es la energía cinética, y será, al pasar por la posición de equilibrio, igual a la energía potencial máxima, tendremos
 E_c_{max} = frac{1}{2} m v_{max}^2 = frac{1}{2} k A^2
E_c_{max} = frac{1}{2} m v_{max}^2 = frac{1}{2} k A^2
Pero el oscilador, en su movimiento, pasará por una posición
x
x
en la cual llevará una velocidad
v
v
, y la ecuación de la energía del movimiento nos quedará
 frac{1}{2} k A^2 = frac{1}{2} k x^2 + frac{1}{2} m v^2
frac{1}{2} k A^2 = frac{1}{2} k x^2 + frac{1}{2} m v^2
Es decir, la energía total se conserva y es igual, en cada instante, a la suma de la energía potencial y de la energía cinéticaEn todo caso, no debemos olvidar nunca que siempre ha de cumplirse la segunda ley de Newton
 F = - k x = m a
F = - k x = m a
De donde obtenemos que
 a = - frac{k}{m} x
a = - frac{k}{m} x
Es decir, la aceleración es proporcional a la distancia a la posición de equilibrio pero con sentido opuesto.

Oscilación forzada

Las oscilaciones forzadas resultan de aplicar una fuerza periódica y de magnitud constante (llamada generador G) sobre un sistema oscilador (llamado resonador R). En esos casos puede hacerse que el sistema oscile en la frecuencia del generador (ƒg), y no en su frecuencia natural (ƒr). Es decir, la frecuencia de oscilación del sistema será igual a la frecuencia de la fuerza que se le aplica. Esto es lo que sucede por ejemplo en la guitarra, cuando encontramos que hay cuerdas que no pulsamos pero que vibran "por simpatía".

Debe tenerse en cuenta que no siempre que se aplica una fuerza periódica sobre un sistema se produce una oscilación forzada. La generación de una oscilación forzada dependerá de las características de amortiguación del sistema generador y de las del resonador, en particular su relación.


Realizado Por: Juan Pablo Monroy Zapata


Ley de las aceleraciones de las gravedades: Al estudiar el fenómeno de la oscilación dejamos aclarado que la acción gravitatoria tiende a hacer parar el péndulo, pues esa es la posición más cercana a la Tierra. Significa esto, en principio, que la aceleración de la gravedad ejerce una acción primordial que evidentemente debe modificar el tiempo de oscilación del péndulo.
Si tenemos presente que la aceleración de la gravedad varía con la latitud del lugar, resultará que los tiempos de oscilación han de sufrir variaciones según el lugar de la Tierra.
En efecto, al experimentar con un mismo péndulo en distintos lugares de la Tierra (gravedad distinta) se pudo comprobar que la acción de la aceleración de la gravedad modifica el tiempo de oscilación del péndulo.
Por ejemplo: si en Buenos Aires el tiempo de oscilación es T1, y la gravedad g1, en Río de Janeiro el tiempo de oscilación es T2 y la gravedad g2.


Repitiendo los experimentos para lugares de distinta latitud (por tanto, distinta gravedad) se puede verificar proporcionalidad semejante. De lo cual surge el siguiente enunciado de la Ley de las aceleraciones de la gravedad:
Los tiempos de oscilación de un mismo péndulo en distintos lugares de la Tierra son inversamente proporcionales a las raíces cuadradas de las aceleraciones de la gravedad.

por santiago valencia martinez

POR: DANIEL ESTEBAN MEJIA QUINTERO
MOVIMIENTO OSCILATARIO
EJEMPLO:
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Este ejemplo es especialmente útil para clarificar ciertas cuestiones de mecánica de los cuerpos rígidos que se ponen de manifiesto cuando hacemos la siguiente demostración de aula. Enrollamos un hilo a un carrete y tiramos de su extremo con una fuerza F tal como indica la figura. Preguntamos a los estudiantes. ¿En qué dirección se moverá el carrete, hacia la izquierda o hacia la derecha?.

Fuerza sobre un carrete

Aplicamos una fuerza F al carrete haciendo un ángulo q con la horizontal tal como se indica en la figura. La fuerza F tiene una componente horizontal F·cosq .
rodar4.gif (2647 bytes)
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Las ecuaciones del movimiento son ahora.
  • Dinámica de la traslación del c.m.

    cosq -Fr=m·ac

  • Dinámica de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.
    -F·r+Fr·R=Ic·a
Además de la condición de rodar (sin deslizar) ac=a ·R
Resolviendo las ecuaciones despejamos las incógnitas ac y Fr.
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La fuerza de rozamiento Fr vale
Fr=Fcosθ-mac
La fuerza de rozamiento Fr se anula para un valor del ángulo q r tal que
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El carrete rueda sin fricción independientemente del valor de la fuerza F aplicada, siempre que no supere un valor máximo que se calculará más abajo.
Se producen tres casos
rodar5.gif (2387 bytes)
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  • Equilibrio
    Cuando se cumple que cosq =r/R. La aceleración del c. m. es cero.
    Como podemos ver en la figura, la dirección de la fuerza F pasa por el punto P de contacto entre el carrete y la superficie horizontal. El momento de la fuerza aplicada respecto de P es cero, no hay rotación alrededor del eje instantáneo que pasa por P.
    El ángulo qc tal que cosqc=r/R, se denomina ángulo crítico

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
EJEMPLO
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El movimiento armonico también denominado movimiento vibratorio armónico simple (abreviado m.v.a.s.), es un movimiento periodico, oscilatorio y vibratorio en ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional al desplazamiento pero en sentido opuesto.Y que queda descrito en función del tiempo por una funsion armonica (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico
En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un m.a.s. oscila alejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que su posicion en función del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia éste.















Por juan David SAnchez


Sistemas oscilantes




    • El análisis del movimiento oscilatorio es de gran utilidad por su aplicación a múltiples fenómenos, tanto de la fisica experimental y tecnología industrial, como en el estudio teórico de la física de las partículas. Los sistemas oscilantes se encuentran en múltiples campos de la fisica, de la química, de la biología, no solo en el universo microscópico, sino, también, en el ámbito de los movimientos de sistemas estelares, tratados por la Astrofísica.


Existe un especial tipo de movimiento, corriente en los sistemas de partículas, que, por su aplicabilidad a diferentes campos de la física, tanto teórica como experimental, merece una especial atención.
El movimiento oscilatorio corresponde a la situación de un sistema de partículas, S, que está sometido tanto a fuerzas conservativas o como disipativas en el caso más general, con un número cualquiera n de grados de libertad, y de forma que durante un intervalo T de tiempo el mínimo de su energía potencial se encuentra dentro de un entorno, simétrico o asimétrico, repitiéndose periódicamente los valores de tal entorno en el movimiento real del sistema.
El estudio matemático de un sistema oscilante puede hacerse de forma muy precisa construyendo su función de Lagrange, para, a partir de ella, obtener tanto sus ecuaciones de movimiento como las restantes magnitudes cinemáticas y dinámicas.
  • 2. Los tipos de sistemas oscilantes:
Si llamamos V a la función potencial de las fuerzas conservativas que actúan sobre el sistema de partículas oscilante, se tiene que V puede depender o no del tiempo.
Llamaremos Oscilador forzado a un sistema oscilante en el que las fuerzas conservativas dependen del tiempo. Siempre es posible descomponer, en este caso, la función potencial en suma de una parte independiente del tiempo y otra parte que si depende del tiempo. A la parte del potencial independiente del tiempo se le puede llamar Potencial de oscilación, y a la parte que sí depende del tiempoPotencial recuperador.
En lo que respecta a las fuerzas no conservativas, es decir, a las fuerzas disipativas que actúan sobre el sistema oscilante, estas podrían o no considerarse nulas durante todo el intervalo de oscilación. El caso en el que las fuerzas disipativas no son idénticamente nulas durante el periodo de oscilación corresponde al oscilador que llamaremos Oscilador amortiguado, o bien, Oscilador con amortiguamiento.
Se define como Oscilador libre a un sistema oscilante que no es forzado ni amortiguado, es decir, un oscilador sobre el que no actúan fuerzas conservativas dependientes del tiempo ni tampoco está sometido a fuerzas de disipación.
Todos los casos, por tanto, ser pueden clasificar así:
    • - Oscilador no forzado ni amortiguado (Oscilador libre).


    • - Oscilador no forzado pero con amortiguamiento


    • - Oscilador forzado sin amortiguamiento.


    • - Oscilador forzado y amortiguado.
  • 3. Los osciladores armónicos:
De lo anterior, por tanto, entendemos que es muy necesario conocer tanto la estructura de la función potencial del campo conservativo en el que se encuentra el sistema oscilante, para poder decidir si se trata o no de un sistema forzado y el grado de su forzamiento, como, también, conocer la función o funciones disipativas para establecer el grado de amortiguamiento del sistema.
Sin embargo, el problema puede ser tratado matemáticamente por aproximación si las funciones indicadoras del potencial de oscilación y del potencial de recuperación son lo suficientemente pequeñas como para poder tomar los primeros términos en una expresión de los mismos mediante un desarrollo de Taylor. El error que se comete en este tipo de aproximación sirve para definir lo que se da en llamar Oscilador armónico
Se define como Oscilador armónico, u Oscilador lineal al sistema oscilante en el que es despreciable (a veces se dice "inferior a una diezmilésima") el error cometido al tomar los dos primeros sumandos no nulos del desarrollo de Taylor de los potenciales de oscilación y recuperación.
Un Oscilador armónico libre es, pues, un oscilador armónico que no está forzado ni amortiguado, esto es, en donde no hay potencial dependiente del tiempo ni fuerzas de disipación.
En los casos de osciladores armónicos amortiguados, con y sin forzamiento, es necesario, para construir sus ecuaciones de movimiento conocer la forma de las funciones de disipación, y, dependiendo de estas funciones, se puede definir un gran número de osciladores armónicos amortiguados, entre los cuales cabe destacar, por su importante aplicación en el contexto de la física experimental, el llamado Oscilador amortiguado de Stokes, cuya condición de definición es la especial forma de las funciones de disipación Q' como suma de los productos de ciertas constantes por las componentes de la velocidad, constantes que se denominan constantes de Stokes.
En lo que respecta, por otra parte, a la forma de las funciones potenciales dependientes del tiempo, en los osciladores forzados, estas pueden tener un comportamiento periódico, generalmente de forma cosinusoidal o sinusoidal, dando lugar a los osciladores denominados Osciladores forzados, con forzamiento periódico.
Se tienen, en definitiva, los casos clásicos siguientes para osciladores armónicos:
    • - Oscilador armónico libre.


    • - Oscilador armónico forzado cosenusoidalmente.


    • - Oscilador armónico forzado sinusoidalmente.


    • - Oscilador armónico no forzado y con amortiguamiento de Stokes.


    • - Oscilador armónico forzado cosinusoidalmente y con amortiguamiento de Stokes.


    • - Oscilador armónico forzado sinusoidalmente y con amortiguamiento de Stokes.